limit (matematika dasar)

LIMIT DAN KEKONTINUAN

1. Limit

1.1 Pengertian Limit

Pengertian limit secara intuisi: untuk mengatakan bahwa limx→c f(X)= L berarti bahwa bilangan x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L dapat dibuat kecil sembarang (lebih kecil dari bilang positif yang ditentukan secara sembarang)asalkan x cukup dekat ke c, tetapi tidak sama dengan c. oleh karena itu misalkan ε (epsilon) sembarang bilangan positif dan limx→c f(X)= L maka akibatnya ialah If(x) – L I < ε untuk semua x yang cukup dekat ke c, tetapi tidak sama dengan c. dengan perkataan lain dijamin ada suatu bilangan positif δ (delta) sehingga

f(x) – L < ε untuk 0 < x – c < δ

Pada umumnya pemilihan δ tergantung pada ε. Kita tidak menghendaki adanya δ yang dapat berlaku untuk semua ε, tetapi untuk setiap ε ada δ sehingga hubungan diatas dipenuhi (Martono,1993:148).

Pengertian limit kiri fungsi :

Misalkan fungsi y = f(x) didefinisikan (sekurang-kurangnya) pada selang terbuka (a,c). Dinyatkan bahwa

limx→c- f(X)= L

Jika dan hanya jika untuk setiap ε>0 ada δ = δ (ε) > 0

sehingga f (x) – L < ε untuk c – δ < x < c.

Pengertian limit kanan fungsi :

Misalkan fungsi y = f (x) didefinisikan (sekurang-kurangnya) pada selang terbuka (c,d). Dinyatakan bahwa

limx→c+fx=L

Jika hanya jika untuk setiap ε > 0 ada δ = δ (ε) > 0 sehingga

f (x) – L < ε untuk c < x < c + δ (Martono,1993:152).

1.2 Teorema limit

Teorema limit A

(Teorema limit utama). Andaikan n bilangan bulat poitif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka

Teorema limit B

(Teorema Subtitusi). Jika f suatu fungsi rasional maka

limx→c=f(c)

asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol (Purcell,1987:87).

3. Limit Fungsi Trigonometri

Dari ketentuan di atas diperoleh :

2. Kekontinuan

2.1 Definisi Kekontinuan dan Syarat – Syarat Kekontinuan

Dalam membahas grafik suatu fungsi dengan domain R atau suatu interval tertentu, kadang-kadang kita jumpai grafik fungsi itu terputus atau bersambung. Perhatikanlah beberapa grafik berikut ini.

F(x) g(x)

Tidak kontinu

Limit kanan ≠ limit kiri

3

2

1

1 X 1 x

Gambar 1 menunjukkan fungsi f bersambung di setiap titik. Fungsi f ditentukan oleh fungsi f (x) = 2x. Sedangkan pada gambar 2 fungsi g ditentukan oleh g(x) = {x untuk x ≤ 1, x + 2 untuk x > 1}.

Grafik fungsi menunjukkan bahwa untuk x < 1 dan x > 1 fungsi g bersambung, tetapi untuk x = 1 fungsi g terputus, oleh karenanya perlu adanya suatu perumusan tentang keadaan terputus atau tidaknya grafik suatu fungsi pada suatu nilai dari daerah fungsi tersebut.

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a, x ϵ R jika:

1. f (a) ada/terdefinisi,
2. limx→af(x) ada,
3. limx→af(x) = f(a)
4. Ketiga syarat itu kadamg – kadang disingkat dengan syarat (iii) saja, maka :
5. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika dan hanya jika
6. limx→af(x) = f(a)
7. Jika salah satu persyaratan kontinu tidak dipenuhi pada suatu x = a maka fungsi itu disebut diskontinu pada x = a.
8. Contoh :
9. tunjukkan kekontinuan fungsi f (x) = 1x-3 pada x =3.
10. Solusi :
11. F(3)=13-3=10 (tidak terdefinisikan )
12. Berarti f(3) tidak ada.
13. Karena satu syarat sudah tidak dipenuhi, maka fungsi f diskontinu pada x = 3.
15. 2.2 Kekontinuan pada selang
16. Kekontinuan pada selang selayaknya berarti kekontinuan di setiap titik dari selang tersebut. Itulah tepatnya apa yang diartikan untuk suatu selang terbuka (a,b ).
17. Bilamana kita memandangs selang tertutup (a,b), kita menghadapi masalah. Mungkin saja f bahkan tidak terdefinisi di sebelah kiri a ( misalnya, f(x) = x mempunyai masalah ini di a = 0 ), sehingga secara langsung saja limx→af(x) tidak ada. Kita pilih untuk mengurus persoalan ini dengan menyebut f kontinu pada a [a,b] jika ia kontinu di setiap titik dari (a,b) dan juga limx→a-fx= f(a) dan limx→b+fx = f(b) (masing- masing disebut, kekontinuan kanan di a dan kekontinuan kiri di b). Kita ringkaskan dalam sebuah definisi formal.
19. Definisi

    Kita katakan f kontinu pada selang terbuka (a, b) jika f kontinu di setiap titik (a, b). F kontinu pada selang tertutup [a, b] jika kontinu pada (a, b). Kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

    
    
    
23. 2.3 Sifat – Sifat kekontinuan
24. Sifat- sifat fungsi kontinu : Jika f(x) dan g(x) kontinu pada x = a, maka :

1. F(x) + g(x) juga kontinu pada x = a,
2. F(x) – g(x) juga kontinu pada x = a,
3. F(x) . g(x) juga kontinu pada x = a,
4. F(x)/g(x), bila g(a) ≠0, juga kontinu pada x = a,

25. Fungsi kontinu mempunyai sifat :

1. Dalam menggambar grafik y = f(x) yang kontinu, maka setiap dua titik sembarang (a,f(a)) dan (b,f(b)) dihubungkan oleh sebuah busur yang tidak terputus.
2. Jika f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka grafik y = f(x) memotong sumbu x paling sedikit satu kali,dan persamaan f(x) =0 paling sedikit mempunyai satu akar antara x = a dan x= b.
3. Jika daerah definisi D dari fungsi adalah suatu interval tertutupa≤x≤b, maka f(x) kontinu pada a≤x≤b jika f(x) kontinu pada a<x<b, dan bila = f(a),
4. Jika f(x) kontinu dalam a≤x≤b dan jika f(a)≠f(b) maka untuk sembarang bilangan c antara f(a) dan f(b), terdapat paling sedikit satu harga x = x₀ sehingga f(x₀) = c.

26. 2.4 Jenis-Jenis Ketakkontinuan Fungsi
27. Bila fungsi f tidak kontinu di c ∈Df, terdapat tiga kemungkinan yang dapat terjadi.

• Limit fungsi f di c ada, tetapi tidak sama dengan f (c), kasusnya dinamakan ketakkontinuan terhapuskan. Disini fungsi f dapat dibuat kontinu dengan cara mengganti f (c) oleh nilai limitnya di c.
• Limit kiri dan limit kanan fungsi f di c ada, tetapi nilainya tidak sama, kasusnya dinamakan ketakkontinuan loncat.
• Limit kiri atau limit kanan fungsi f di c tidak ada, dengan grafik fungsi f beroskilasi disekitar c. Suatu ilustrasi untuk kasus ini adalah fungsi yang grafiknya beroskilasi di sekitar 0. Semakin dekat ke 0, fungsi ini semakin sering memotong sumbu x,garis x = 1, dan garis x = -1.

29. Contoh soal dan penyelesaiannya

1. Cari

31. Penyelesaian:
32. = = =
33. =

2. Jika dan cari

34. Penyelesaian:
35. =
37. =[4].

38. =
39. =
40. =
41. =

42. Penyelesaian : jika x disubstitusikan maka hasilnya , sehiingga bentuk itu harus diubah menjadi :
61. SOAL – SOAL
63. Dalam latihan 1 sampai 14, bahas kekontinuan fungsi yang diberikan.

1. fx,y=x2y-1
2. fx,y=1x-y
3. hx,y=sinyx
4. fx,y=lnxy2
5. fx,y= 4x2y+3y22x-y
6. gx,y= 5xy2 + 2y16-x2-4y2
7. gx,y=ln(25-x2-y2)
8. fx,y= cos-1(x+y)
9. fx,y=xyx2+y2 jika x,y≠(0,0)0 jika x,y=(0,0)
10. hx,y=x2yx4+y2 jika x,y≠(0,0)0 jika x,y=(0,0)
11. fx,y=x+yx2+y2 jika x,y≠(0,0)0 jika x,y=(0,0)
12. fx,y=x3+y3x2+y2 jika x,y≠(0,0)0 jika x,y=(0,0)
13. gx,y=xyx+y jika x,y≠(0,0)0 jika x,y=(0,0)
14. fx,y=x2y2x3+y3 jika x,y≠(0,0)0 jika x,y=(0,0)
16. Dalam latihan 15 sampai 24, tentukan daerah kekontinuan f dan gambarkan skets suatu daerah berarsir di R² yang memperlihatkan daerah kekontinuan f.
17. fx,y= yx2-y2-4
18. fx,y= xy16-x2-y2
19. fx,y= x2+y29-x2-y2
20. fx,y= x4x2+9y2-36
21. fx,y=ln(x2+y2-9)-ln(1-x2-y2)
22. fx,y= sec-1(xy)
23. fx,y= sin-1(xy)
24. fx,y= sin-1x+y+ln(xy)
25. fx,y=x2-y2x-y jika x≠yx-y jika x=y
26. fx,y=sin⁡(x+y)x+y jika x+y≠01 jika x+y=0
28. Dalam latihan 25- 30. Fungsi diskontinu di titik asal karena f(0,0) tidak ada. Tentukan apakah kediskontinuan tersebut dapat dihapuskan atau esensian. Bila kediskontinuan dapat dihapuskan definisikan f (0,0) sehingga fungsi yang baru kontinu di (0,0).
29. fx,y= xx2+y2
30. fx,y=(x+y)sinxx2+y2
31. fx,y=x2y2x2+y2
32. fx,y=x3y2x6+y4
33. fx,y=2y2- 3xyx2+y2
34. fx,y=x3-4xy2x2+y2
36. Fungsi f didefinisikan oleh
37. fx,y=x2-3y2 jika x2-3y2≤12 jika x2-3y2 >1
38. Tunjukkan bahwa daerah kekontinuan f terdiri dari semua titik-titik di R², kecuali titik-titik pada hiperbola x2-3y2=1.
40. Fungsi g didefinisikan oleh
41. gx,y=x2-4y2 jika x2+4y2≤53 jika x2+4y2 >5
42. Tunjukkan bahwa daerah kekontinuan g terdiri dari semua titik-titik di R², kecuali titik-titik pada elips x2-4y2=5.
44. Dalam latihan 33 sampai 36 gunakan definisi dan teorema pada latihan 32 untuk membahas kekontinuan fungsi yang diberikan.
45. fx,y,z= xzx2+y2+z2-1
46. fx,y,z=ln(36-4x2-y2-9z2)
47. fx,y,z=3xyzx2+y2+z2 jika x,y,z≠(0,0,0)0 jika x,y,z=(0,0,0)
48. fx,y,z=xz-y2x2+y2+z2 jika x,y,z≠(0,0,0)0 jika x,y,z=(0,0,0)
50. Dalam setiap kasus berikut, tentukan apakah fz kontinu di titik asal, jika f0=0 dan untuk z ≠0 , fungsi fz sama dengan

1. Im z/z
2. Re z(1+z)
3. Re z2z
4. (Im z)2z²
5. Im zz²
6. (z Im z)z

51. Apakah keadaan dibawah ini dapat dinyatakan dalam model fungsi kontinu?

1. Tinggi tanaman sebagai fungsi dari waktu
2. Denyut jantung manusia setiap waktu
3. Curah hujan yang diukur pada stasiun cuaca
4. Suhu ruang kuliah
5. Banyaknya ayam disuatu peternakan
6. Jumlah penduduk sebagai fungsi dari waktu
7. Upah seseorang sebagai fungsi dari waktu
8. Pertumbuhan bobot badan bayi berumur 0 sampai dengan 5 tahun

52. Tentukan (jika ada) titik titik yang menyebabkan fungsi berikut tidak kontinu.

1. fx=x2-4x-2 untuk x ≠24 , untuk x=2
2. fx=x2-1x+1 untuk x ≠-10 , untuk x=-1
3. fx=(x2-9)(x2-4)x2-x-6 , untuk x≠3 dan x≠-20 , untuk x=-26 , untuk x=3
4. fx=x , untuk x<1x , untuk 1≤x<46-x , untuk x>4
5. fx=x+x
6. fx=x2-1
7. fx=x-x, untuk-4<x≤4
8. fx=x2-3x+2x2+x+1
9. fx=x2-1x2+3x+2
10. fx=xx+1
11. fx=x2+3

53. Tentukan konstanta c dan d agar fungsi

12. fx=x , untuk-2< x<12cx+d , untuk 1≤x<2x2+3d , untuk 2≤x≤4
13. Kontinu pada selang tertutup 0,4.

54. Tentukan konstanta p dan q agar fungsi

14. fx=x3-x2+5, untuk x<-1p , untuk x=-1qx+6 , untuk x>-1
15. Kontinu untuk semua bilangan nyata.

55. Perhatikan fungsi f dan g yang didefinisikan seperti berikut:

16. fx=x+x2 untuk semua x;gx=x, untuk x<0x2, untuk x≥0
17. Pertanyaan:

1. Tentukanlah pada titik mana saja fungsi majemuk hx=fgxkontinu.
2. Tentukanlah pula pada titik mana saja fungsi majemuk fx=gfxkontinu.

56. Buatlah sketsa kurva fungsi y=f(x) yang kontinu pada selang terbuka (0,10) dengan kekecualian sebagai berikut:

1. Fungsi fx tak kontinu loncat pada x=1 dan f(1) terdefinisi
2. Fungsi f(x) tak kontinu pada x=4, tetapi limx→4fx ada
3. Fungsi f(x) tak kontinu yang dapat dihapuskan pada x=7 dan f (7) terdefinisi.
4. Fungsi f(x) hanya kontinu dari kanan pada x=9

24. DAFTAR PUSTAKA
26. Ayres,JR. Frank. 1998. Kalkulus Edisi Kedua. Jakarta : Erlangga.
27. Kreyszig, Erwin. 1993. Matematika Teknik Lanjutan Edisi Keenam. Jakarta : Gramedia.
28. Leithods. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Edisi Kelima. Jakarta : Erlangga.
29. Martono, Totong. 1993. Matematika untuk Ilmu-ilmu Pertanian, Kehidupan dan Perilaku. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
30. Purcell. 1996. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : Erlangga.
31. Soemartojo. 1988. Kalkulus Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga.